Antoine Chambert-Loir's Algèbre [Lecture notes] PDF

By Antoine Chambert-Loir

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M n ) = m′ d’où p(m) ⋅ ε = p(s)−1 ⋅ m′ = m. Soit maintenant x ∈ F(S) et soit m ∈ M′ (S) un mot de longueur minimale tel que p(m) = x ; nécessairement m est réduit. D’autre part, si m ∈ M′ (S)0 est un mot réduit tel que p(m) = x, on a x ⋅ ε = p(m) ⋅ ε = m. Ainsi, x ⋅ ε est l’unique mot réduit dont l’image dans F(S) est égale à x. 7). — a) L’application j ∶ S → F(S) est injective. 46 CHAPITRE 2. GROUPES b) Le groupe F(S) est sans torsion. c) Si Card(S) ⩾ 2, le centre de F(S) est réduit à l’élément neutre.

En outre, si b est un autre élément inversible de A, on a Int(a) ○ Int(b) = Int(ab) puisque Int(a)(Int(b)(x)) = a(bxb−1 )a−1 = (ab)x(b−1 a−1 ) = (ab)x(ab)−1 = Int(ab)(x) pour tout x ∈ A. Il s’ensuit que Int(a) est un automorphisme de A et que son automorphisme réciproque est l’automorphisme Int(a−1 ). On dit que c’est l’automorphisme intérieur de A associé à a. Soit A× le groupe des éléments inversibles de A ; ce qui précède démontre que l’application Int ∶ A× → Aut(A) est un homomorphisme de groupes.

Elle induit donc un isomorphisme de C/B sur p(C). b) Si C est un sous-groupe de A qui contient B, son image p(C) est un sousgroupe de A/B. Si D est un sous-groupe de A/B, son image réciproque p−1 (D) est un sous-groupe de A qui contient B. 7. SOUS-GROUPES DISTINGUÉS ET GROUPES QUOTIENTS 41 a p(p−1 (D)) = D ∩ Im(p) = D car p est surjective. De plus, si C est un sousgroupe de A, alors p−1 (p(C)) est un sous-groupe de A qui contient C. Si de plus C contient B et a ∈ p−1 (p(C)), p(a) ∈ p(C), donc il existe c ∈ C tel que p(a) = p(c) ; posons b = ac −1 ; on a p(b) = p(a)p(c)−1 = e, donc b ∈ B, donc b ∈ C et a = bc ∈ C, si bien que p−1 (p(C)) = C.

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by Ronald
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