Algebre commutative (lecture notes) by Chambert-Loir A. PDF

By Chambert-Loir A.

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B un morphisme d’anneaux. On a vu (page 16) que f (A) est un sous-anneau de B. Ainsi, on peut de´composer f en cl f A ! A= Ker f ! f (A) ,! B c’est-a`-dire en la composition d’un homomorphisme surjectif, d’un isomorphisme et d’un homomorphisme injectif. Soit A un anneau et soit I un ide´al de A. On s’inte´resse maintenant aux ide´aux de l’anneau A=I. Soit J un ide´al de A=I. Alors, on sait que cl 1 (J ) est un ide´al de A. Par construction, il contient I puisque pour tout a 2 I, cl(a) = 0 est un e´le´ment de J .

D) Si I est un ide´al d’un anneau A, l’ensemble S = 1 + I des e´le´ments a 2 A tels que a 1 2 I est une partie multiplicative. C’est l’image re´ciproque de la partie multiplicative f1g de A=I par la surjection canonique A ! A=I. ` quelle condition l’anneau S 1 A peut-il eˆtre nul ? 5. — a) A de la de´finition qu’une fraction a=s est nulle dans S 1 A si et seulement s’il existe t 2 S tel que t(a1 s0) = at = 0. Dire que S 1 A est l’anneau nul signifie alors que 1=1 = 1 = 0 = 0=1, et donc qu’il existe s 2 S tel que s 1 = s = 0, autrement dit que 0 2 S.

2 que pour tout n 1, l’anneau Z=nZ est inte`gre si et seulement si n est premier. Comme Z est inte`gre, les ide´aux premiers de Z sont donc, d’une part l’ide´al (0), et d’autre part les ide´aux (p) ou` p parcourt l’ensemble des nombres premiers. c) Si k est un corps, les ide´aux (X) et (X; Y) de k[X; Y] sont premiers (cf. 1). 5. — Soit f : A ! B un homomorphisme d’anneaux. Si I est un ide´al premier de B, f 1 (I) est un ide´al premier de A. De´monstration. — Premie`re me´thode (naı¨ve). Comme f (1) = 1 n’appartient pas a` I, 1 62 f 1 (I) et f 1 (I) 6= A.

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by Daniel
4.2

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