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By N. Bourbaki

ISBN-10: 354033937X

ISBN-13: 9783540339373

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce foremost quantity du Livre d Algèbre commutative, septième Livre du traité, est consacré aux strategies fondamentaux de l algèbre commutative. Il comprend les chapitres: 1. Modules plats; 2. Localisation; three. Graduations, filtrations et topologies; four. Idéaux premiers associés et décomposition primaire.

Il contient également des notes historiques.

Ce quantity est une réimpression de l édition de 1969.

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7 montre que si C est un B-module fidèlement plat et B un A-module fidèlement plat, alors C est un A-module fidèlement plat. Si C est un B-module fidèlement plat et un A-module fidèlement plat, alors B est un A-module fidèlement plat (les modules étant pris à droite, pour fixer les idées). Par contre B et C peuvent être des A-modules fidèlement plats sans que C soit un B-module fidèlement plat (exerc. 7). 50 ALGÈBRE C O M M U T A T I V E chap. 1, § 3 5 . Amneaux fidèlement plats. PROPOSITION 8.

9, identifions A à u n sous) a s'écrit alors auneau d c B a u moyen d e p. L a relation y ( ~ a = A n Ba = a. D'autre part, si F est un A-module à gauche, on identific F u son image dans B@,F p a r l'application canonique x -,1 ; si X est un sous-groupe additif d e F, on note alors BX lc sous-B-module à gauche dc B @A F cngendré p a r X. Avec ces nolülions, on a : P ~ ~ P O S I T10. I OS Soient B u n a n n e a u et A un sous-anneau de i? tel que B soit u n A-module à droite fidèlement plat. Soienl F un A-modrrle à gauche, F', F" derlx sous-modules de F.

Asla) f O. E n d'autres termes, pour tout A-module à gauche monogène N # O, on a T(N) # O. Si maintenant N est un A-module à gauche # O quelconque, il contient un sous-module monogène N' # O ; puisque E est plat, T ( N f )s'identifie à un sousgroupe de T(N) ; on vient de voir que T(N1) # O, donc T(N) # 0. C. Q. F. D . DEFINITION 1. - On dit qu'un A-module à droite E est fidèlement plat s'il vérifie les quatre propriétés équivalentes de la prop. 1. On définit de même les A-modules à gauche fidèlement plats ; il est clair que pour qu'un A-module à gauche E soit fidèlement plat, il faut et il sufit que E , considéré comme Ao-module à droite, soit fidèlement plat.

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Algèbre commutative: Chapitres 1 à 4 by N. Bourbaki


by Paul
4.5

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