Algèbre: Chapitre 8 by N. Bourbaki PDF

By N. Bourbaki

ISBN-10: 3540353151

ISBN-13: 9783540353157

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C) Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) On a pq = qp ; (ii) On a q(p(M)) ⊂ p(M) et q(Ker(p)) ⊂ Ker(p) ; (iii) Il existe une suite (p1 , p2 , p3 , p4 ) de projecteurs de M deux à deux orthogonaux telle que p = p1 + p2 , q = p1 + p3 et 1M = p1 + p2 + p3 + p4 . Une telle suite, lorsqu’elle existe, est unique : on a p1 = pq. 5) Soit A un anneau. a) Pour qu’un élément e de A soit idempotent, il faut et il suffit que l’application x → xe soit un projecteur du A-module à gauche As (resp.

F = GQ + R et deg(R ) < deg(G)). b) En déduire que tout idéal à gauche (resp. à droite) de A est monogène. Si F, G, H, K sont des éléments de A satisfaisant à AF + AG = AH et AF ∩ AG = AK, on a deg(F) + deg(G) = deg(H) + deg(K) (observer que le D-espace vectoriel A/AF est de dimension deg(F)). c) Pour que l’idéal AF de A soit maximal, il faut et il suffit que F soit irréductible, c’est-à-dire ne soit pas le produit de deux polynômes non constants. 28) Soient B un anneau, A un sous-anneau de B, x un élément de B tel qu’on ait A + Ax = A + xA, et que l’anneau B soit engendré par A ∪ {x}.

Xm de M tels que l’annulateur de M soit l’intersection des annulateurs des xi . Comme le A-module M est fidèle, l’application A-linéaire a → (ax1 , . . , axm ) de As dans Mm est injective, d’où a). Sous les hypothèses de b), tout quotient simple de As est isomorphe à un quotient d’une suite de Jordan-Hölder de Mm (I, p. ), donc à l’un des modules Mi /Mi+1 (I, p. 41, th. 6). Enfin, tout A-module simple est isomorphe à un quotient de As . Remarque. — La proposition 5 s’applique en particulier dans les deux cas suivants : a) Soit A une algèbre sur un corps commutatif K et soit M un module fidèle de dimension finie sur K.

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by Kevin
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